第一百三十九章 二试 (第2/2页)

2、加入砝码数量增加到12个，其中可以有相同重量的砝码，用天平量出国王给你的一件物品。
　　
　　这件物品在1-59克之间。
　　
　　你是否能做到，甚至少了任何两个砝码也能做到这一点？】
　　
　　伊诚看完了题目，心中至少有4种不同的证明方式。
　　
　　但是这题有点奇怪的地方在于——
　　
　　它规定了时代背景。
　　
　　你生活在13世纪，并且是欧洲。
　　
　　这个时期的欧洲数学还比较落后，它刚从衰落阶段开始复苏。
　　
　　所以伊诚能用来证明题目的方法，也只能是这个时期以前的。
　　
　　他先尝试对题目进行拆解——
　　
　　取n个砝码，记第i个砝码的重量为Fi
　　
　　对于重量为w的物体，可以用n个砝码测出它的重量。
　　
　　当n=1时，F3=F2+F1=2
　　
　　于是，F3-1=1，w=1时，显然可以测出。
　　
　　然后再讨论n和n+1时的情况……
　　
　　通过归纳假设……
　　
　　可以得到第1问的证明。
　　
　　在这里，通过多次枚举之后，伊诚发现了一些规律——
　　
　　真是美丽的数字关系。
　　
　　如此美丽的数字关系，只有一种东西可以解释：
　　
　　斐波那契数列。
　　
　　斐波那契是13世纪初的数学家，运用它的理论不会违背这个时代背景的原则。
　　
　　所以，当发现规律为斐波那契数列之后，对于第2问就简单得多了。
　　
　　伊诚提笔写到——
　　
　　构造广义斐波那契数列：
　　
　　g(n)=g(n-1)+g(n-3)(n大于等于4）。
　　
　　g(1)=g(2)=g(3)=1.
　　
　　用归纳假设，可以说明对于这样的n个砝码，即使任意去掉其中的两个，仍然能称出重量1到g（n+1）-1的物体。
　　
　　而g（13）=60.
　　
　　所以第二问得证。
　　
　　可以找到满足题意的12个砝码称量1-59范围内的物体。
　　
　　答完题。
　　
　　伊诚闭上眼睛，细细地品味着。
　　
　　不得不说出题人真的很棒。
　　
　　至少他让人在这道题目中领略了什么是数学之美。
　　
　　不单单是因为斐波那契数列是黄金分割，本身就具有艺术美感。
　　
　　更关键的是，这题反应了从探索到猜想，再到证明的数学之美。
　　
　　啧啧。
　　
　　伊诚砸吧着嘴唇，在陶醉了一番后，继续攻克最后一道大题。
　　
　　现在时间才过去了三分之一。
　　
　　最后一题是一道证明题：
　　
　　设S为R^3中的抛物面z=（x^2+y^2）/2，P(a，b，c)为S外一固定点，满足a^2+b^2大于2C，过P点作S的所有切线。
　　
　　证明：这些切线的切点落在同一平面上。
　　
　　本来以为是压轴题，应该有点难度，但是伊诚稍加思索，发现这题并不难。
　　
　　在几何中，有一个非常厉害的王者咖喱棒。
　　
　　它就是向量。
　　
　　只要使用向量这把咖喱棒，就能把一切都斩于无形。
　　
　　伊诚略加思索，运用向量把题目证明完毕。
　　
　　完了以后，他发现了一个神奇的事情——
　　
　　这道题目不只是在二维平面上是可证的，甚至可以推广到二次曲面上。
　　
　　于是伊诚又用向量证明了二次曲面的推广命题。
　　
　　做完这些，伊诚在想，既然二次曲面也是可行的，那么有没有可能推广到3次？
　　
　　当他忘乎所以，在草稿纸上进行更高维度的推广时——
　　
　　考试时间结束了。
　　
　　按照竞赛的要求，考官会把考卷连同草稿纸一起密封进行考核。
　　
　　伊诚一脸茫然，对最后的步骤没有做完耿耿于怀。
　　
　　“这次不像你啊！”
　　
　　在赛场门口，李安若抱着双手嘲讽到。
　　
　　“你不是次次都是第一个交卷的吗？”